Notas sobre el valor en riesgo o mejor dicho valor en riesgo condicional

En unos de los blogs anteriores hemos mencionado la utilidad del concepto del valor en riesgo. Algunos lectores nos pidieron una reflexión del tema en castellano, que aquí proporcionaremos.

El valor en riesgo de una cartera se puede definir como “la pérdida máxima en la que podría incurrir una cartera en un plazo determinado con un nivel de confianza estadística dado” (véase: “Más allá del valor en riesgo (VeR): el valor condicional”, https://www.researchgate.net/publication/28186191_Mas_alla_del_valor_en_riesgo_VeR_el_VeR_condicional).

Vamos al grano. Nos gustaría saber cuál es el VeR para una cartera compuesta por dos títulos, en concreto una cartera sencilla que contiene el oro y la plata. Con fecha del 11/08/2017 el oro se cotizaba a 1.289,2 dólares por onza, la plata a 17,11 dólares. Nuestra cartera está compuesta por 500 títulos de cada una, con lo cual se obtiene un valor de $653.155 a finales del 11/08/2017. Queremos saber cual es el VeR de nuestra cartera después de 10 días laborales con un nivel de confianza estadística del 99%. Lo cual se traduce también de forma siguiente: Queremos saber el valor de la cartera después de 10 días laborales, teniendo en cuenta una probabilidad del 1% que las pérdidas sean mayor que el VeR.

Bien, para llegar a una respuesta tendremos que analizar los datos brevemente. En primer lugar hemos extraído los precios diarios de ambos títulos del último año y eliminado todos los días donde uno de los dos títulos no se cotizaron en bolsa. El resultado se ve en el archivo anexo. Dado que los títulos están normalizados (para cada día analizado tenemos los correspondientes precios), podemos calcular la correlación empírica, que haremos utlizando el coeficiente de correlación de rango (Spearman). 

A continuación hemos analizado con MC FLO de forma directa la distribución de los precios y asimismo la diferencia de la rentabilidad en términos logarítmicos. En ambos casos llegamos a la conclusión que la evolución de los precios no está sujeto a la hipótesis de normalidad, con lo cual recurriremos al proceso temporal ARCH, usando las diferencias de la rentabilidad, para estimar el VeR.

Aquí vemos la propuesta que MC FLO nos proporciona con respecto a la serie temporal. 

Dado que por ahora no hacemos uso de la hipótesis de normalidad, la distribución resultante no se podrá analizar de forma analítica con facilidad, con lo cual utilizaremos la simulación Monte-Carlo para deducir el VeR. Después de haber introducido los procesos temporales con sus respectivos parámetros estamos a punto de arrancar la simulación que la haremos con 100.000 iteraciones, lo cual nos parece razonable para el nivel de confianza estadística del 99%. 

Sin embargo, en la práctica tomamos varios modelos para deducir el VeR concreto. Para ello hemos usado como alternativa el modelo anteriormente expuesto, pero asumiendo que la cartera tuviese que revalorizarse al día siguiente. Así aplicándole la raíz del tiempo (diez días) obtendremos otro valor, que en según el modelo debería sobrevalorar el riesgo efectivo de la cartera. Y solo en este caso haremos también uso de la correlación entre el oro y la plata (las correlaciones se pueden utilizar en MC FLO solo para una realización concreta y no para una serie de vectores). 

Como estadísticamente no podemos confirmar con toda seguridad que el modelo ARCH (1) (y sus parámetros) es el único apropiado, usaremos como alternativa un proceso Wiener, habiendo obtenido los respectivos parámetros usando MC FLO y como última alternativa la fórmula de Black-Scholes-Merton. 

A continuación exponemos los resultados.

Si optamos por el modelo ARCH (1) nuestro VeR también se puede interpretar de la siguiente forma: Hay una probabilidad del 1% que el valor de nuestra cartera después de diez días laborales sea inferior a $613.739 ($653.155 - $39.416), contando desde hoy. 

Conviene hacer uso del "backtesting" para comprobar el nivel de confianza con los datos observados en el pasado, que haremos para los días entre el 08/12/2016 y 11/08/2017 (en total 193 días). 

Como vemos, el modelo ARCH (1) y el proceso Wiener (según los parámetros) son los que más se aproximan al nivel de confianza definido. 

Sin embargo y como hemos mencionado al principio del blog, queremos hacer hincapié en el valor en riesgo condicional. Ese término se deriva directamente del VeR y la respectiva simulación. Al formular la siguiente pregunta ya obtendremos el quid de la cuestión: ¿cual sería el valor medio de la pérdida, dado que el umbral señalado por el VeR ha sido superado? En otras palabras y tomando el ejemplo: supongamos que la cartera baje de los $613.739, ¿hasta qué punto bajará – en términos medios?

Para ello sorteamos los VeR de forma ascendiente, tomaremos el 1% de los resultados (el 1% equivale a las 1.000 iteraciones) y de ella la media aritmética. 

Lo podemos interpretar de la siguiente forma: Dado que la pérdida supere el VeR, y en el caso que el modelo ARCH (1) sea el más apropiado, el valor de cartera bajará en media no más que $48.104, o sea el valor medio de nuestra cartera en el caso que el umbral del 1% ha sido superado, será de $605.051.

Esperamos que con MC FLO el cálculo del VeR sea de lo más fácil posible.  

Actualización 18/09/2017: La llamada raíz del tiempo (o square-root-of-time-rule en inglés) no es apropiada para cada distribución. En un próximo blog enseñaremos cómo derivar una aproximación para un VeR de "n" días partiendo de un VeR diario y usando una simulación previa.