Series temporales - método de momentos y su aplicación en MC FLO

Para decirlo en primer lugar, el método de máxima verosimilitud (MLE en inglés) es el método estándar para determinar los parámetros de un modelo estadístico, como es aquí el caso para las series temporales. Apenas un libro o un artículo, que no recurra a este procedimiento. Por lo tanto, puede resultar curioso que nosotros en MC FLO no recurrimos a él. Esto tiene dos razones.

El primer motivo es técnico. La instalación de MLE requiere un rediseño significativo de nuestra biblioteca de programación. Concretamente, para cada realización posible (tanto en relación con las series temporales y asimismo con respecto a las distribuciones implementadas), se deberán almacenar funciones de optimización en el código fuente y operaciones de matriz extensivas para llegar a un resultado lo más rápido posible. Sin embargo, esto habría conducido inevitablemente a una extensión de los datos proporcionados con MC FLO, contradiciendo así nuestra filosofía de hacer las simulaciones de Monte Carlo lo más simple posible, tanto en términos de manejo como del programa en sí. Ningún otro programa de simulación de Monte Carlo para Excel con la gran cantidad de funciones como MC FLO se presenta con un tamaño tan reducido. Y sí, nosotros también tendríamos que mirar con más detalle algunos métodos.

La segunda razón tiene motivos filosóficos. En todo lo que sabemos sobre las simulaciones, nos queda por constatar que nosotros tampoco podemos predecir el futuro. Por lo tanto, en nuestra opinión, no tiene sentido explorar el pasado en detalle. O dicho en otras palabras: mirando al espejo retrovisor seremos capaz de ver la próxima esquina solamente en un circuito cerrado. Por lo tanto, nos parece más conveniente que se incluyan básicamente interrelaciones en la evaluación de cómo se podrá comportar el futuro. Los métodos de estimación más simples, como el método del momento, son perfectamente adecuados para esto.
 
Con los proceso temporales AR (1), MA (1), ARMA (1,1) y ARCH (1), proporcionamos un conjunto limitado pero poderoso equipo de modelos. Esto se completa con el proceso de movimiento geométrico browniano, que, a diferencia de los mencionados anteriormente, no tiene que cumplir la condición de estacionariedad de la media aritmética. Otros métodos de estimación, como el suavizamiento exponencial o el modelo de Holt-Winters para mapear efectos estacionales, pueden definirse directamente en Excel sin mucho esfuerzo.

Sin recurrir a complicadas fórmulas matemáticas, queremos explicar esto usando un ejemplo práctico y con Excel:

Asumimos una serie temporal que sigua un proceso AR (1) con un valor de inicio 3, un peso del período anterior de 0,3 y un componente aleatorio con una media de 0 y una desviación estándar 1.
 
En un primer paso determinaremos los números aleatorios (columna B). Para este propósito, se utilizó la fórmula "= NORM.INV (NÚMERO ALEATORIO (); 0; 1)". Como esta función es una función volátil, hemos copiado los valores en la columna B. En la columna C se muestra la serie temporal, acompañado por el gráfico correspondiente (línea azul etiquetada “Original”).

Además, se muestra la línea de regresión (línea negra). Como se puede ver fácilmente, la pendiente de la línea es prácticamente plana, que nos lleva a la conclusión de que la serie temporal es estacionaria. En pocas palabras, y considerándolo suficiente se define como una serie temporal estacionaria una serie donde la media es invariante a lo largo del tiempo. En la columna D tomamos los valores medios de seis observaciones siguidas. Aunque fluctúan ligeramente, no se puede detectar ninguna tendencia. La ligera pendiente se debe a la pequeña cantidad de puntos de datos. Cuantos más puntos de datos estén disponibles, más cerca estarán de la media de todo el proceso (y más plano resultaría la línea de regresión).

Ahora queremos hacer lo contrario. Tomamos la serie temporal mostrada en la columna C como dada y que tenemos la tarea de asignarla a un proceso AR (1) o MA (1) y posteriormente determinar los parámetros correspondientes. De un proceso MA (1) se sabe que la covarianza de segundo orden es teóricamente cero. Por el otro extremo tenemos el proceso AR (1), donde la covarianza decae lentamente en términos absolutos con el primer orden para alcanzar finalmente el valor de cero después de n órdenes.

Para determinar un proceso adecuado, se han de calcular las covarianzas de primer y segundo orden, que hemos mostrado en la columna L y M. La covarianza de primer orden es 0,37, la segunda orden es 0,16. En la línea L17, por lo tanto, por medio de una simple comparación, se selecciona el modelo AR (1) como el más adecuado. Una vez seleccionado el proceso AR (1), los siguientes pasos serán determinar el peso y la desviación estándar. En un proceso AR (1), el peso corresponde a la "autocorrelación" de primer orden, que se deriva de la relación entre la covarianza de primer orden y la varianza del proceso. Esto y la fórmula para la desviación estándar se muestran en las celdas S8 y S9. Según el método del momento, el peso es de 0,42 y la desviación estándar es de 0,85.

La comparación con el proceso real, que tiene un peso de 0,3 y una desviación estándar de 1 revela que las diferencias son bastante amplias. Sin embargo, debemos mentalizar que los procesos de series temporales tienen un componente aleatorio y, por lo tanto, la desviación encontrada no revela generalmente la calidad de una estimación.

En el siguiente gráfico hemos mostrado los números aleatorios (también llamados ruido blanco - "Weisses Rauschen") de la columna B, que a priori no conocemos al derivar los parámetros de estimación. Partiendo de un nuevo ruido blanco y teniendo en cuenta los parámetros estimados se puede trazarse una realización completamente diferente (ver columna G), pero que cumple completamente con el proceso AR(1) y los parámetros obtenidos (en el gráfico inferior se muestra como "Schätzer").

Para los que han de tomar una decisión, una serie temporal que diverja del desarrollo histórico no les parece una estimación correcta. Intuitivamente esperan que la serie temporal coincida con los datos históricos para los valores ya conocidos o que, al menos, siga el curso histórico como lo suelen hacer los procesos deterministas como el suavizamiento exponencial. Sin embargo, la serie ilustrada de la columna G tiene una realización completamente diferente entre los puntos de datos 12 y 15 con respecto a los  datos originales. El suavizamiento exponencial con orden de 0,3 parece a primera vista (la derivación se puede ver en Excel y se muestra en el gráfico anterior como "exp. Glättung") una estimación mucho mejor que nuestro proceso AR(1). Pero si tenemos en cuenta que los números aleatorios que se muestran arriba tienen como fin de perturbar el proceso y asumiendo que podamos llevar a cabo una reorganización de estos números aleatorios, la lógica del proceso de la serie temporal no se vería rota y posiblemente tendríamos una mayor coincidencia con los datos reales. Esta reorganización se materializa en MC FLO utilizando el método del "vecino más cercano".

Tome el primer punto de datos de la serie temporal observada (3,1394068 en la celda C3). ¿Qué valor aleatorio debemos tomar primero para minimizar el error de estimación? Es obvio que este es el valor aleatorio de la línea 34. Se procede así con el segundo y los siguientes puntos de datos. El resultado es, por lo tanto, una nueva serie temporal con los parámetros estimados de 0,42 y 0,85 y que coincide exhaustivamente con los datos históricos. Una extensión consiste en generar una gran cantidad de números aleatorios por adelantado y luego aplicar el algoritmo del "vecino más cercano". Teóricamente, los números aleatorios así dibujadas (pero aquí con la desviación estándar calculada de 0,85) son presumiblemente "correctas", ya que cualquier número al azar pueden aparecer en cualquier orden en una serie infinita. Solo para los valores predictivos MC FLO inicia un nuevo proceso aleatorio. A continuación se muestra el resultado del proceso de la serie temporal AR (1) optimizado con los vecinos más cercanos en MC FLO.

Como quintaesencia constatamos como resultado una serie temporal autorregresivo cuyos puntos de datos estén correlacionados positivamente entre sí para interpretar los datos históricos (tome nota que no mencionamos para nada los parámetros calculados. Como ya hemos dicho, nos debe de interesar más la dirección de un proceso y no obviamente la realización histórica).
 
Nota: En la literatura el valor de inicio se suele tomar sin un componente aleatorio para el proceso AR (1). Como las series temporales son teóricamente infinitas, en MC FLO registramos el valor inicial en la estimación con un número aleatorio.